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2024-12-29 17:52:25 来源：战神遗迹源码分类：娱乐

1.gugin是图论什么意思？
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3.数据结构八皇后
4.求背包问题的pascal源代码
5.电脑程序编程怎么学怎样在电脑里学编程
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图论源码大全

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数据结构八皇后

去图书馆找找有关数据结构或是算法设计的书，一般都有8皇后的源代码

8皇后算法是算法的经典了我记得我当年C语言程序上机就有这道题目我直接按书上抄上去的找不到的话就去网上下网上下的一般会有很多错误但一般是小错误反复改下错就可以了

求背包问题的pascal源代码

P: 背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[N][V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..0

f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解背包问题是十分必要的。

总结

背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

P: 完全背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这个问题非常类似于背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}。这跟背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间则不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。

将背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

转化为背包问题求解

既然背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，memc工具源码大全于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。但我们有更优的O(VN)的算法。 * O(VN)的算法这个算法使用一维数组，先看伪代码： <pre class"example"> for i=1..N for v=0..V f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

你会发现，这个伪代码与P的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}，将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

总结

完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。

P: 多重背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}。复杂度是O(V*∑n[i])。

转化为背包问题

另一种好想好写的基本方法是转化为背包求解：把第i种物品换成n[i]件背包中的物品，则得到了物品数为∑n[i]的背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*∑n[i])。

但是我们期望将它转化为背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*∑log n[i])的背包问题，是很大的改进。

O(VN)的算法

多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片上。

小结

这里我们看到了将一个算法的复杂度由O(V*∑n[i])改进到O(V*∑log n[i])的过程，还知道了存在应用超出NOIP范围的知识的O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法，自己证明一下它的正确性，并用尽量简洁的程序来实现。

P: 混合三种背包问题

问题

如果将P、P、P混合起来。也就是说，有的物品只可以取一次（背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。应该怎么求解呢？

背包与完全背包的混合

考虑到在P和P中最后给出的伪代码只有一处不同，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(VN)。伪代码如下：

for i=1..N

if 第i件物品是背包

for v=V..0

f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

else if 第i件物品是完全背包

for v=0..V

f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

再加上多重背包

如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出O(VN)的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话，用P中将每个这类物品分成O(log n[i])个背包的物品的方法也已经很优了。

小结

有人说，困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论，但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来背包、完全背包、多重背包都不是什么难题，但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实，领会三种基本背包问题的思想，就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。

P: 二维费用的背包问题

问题

二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，用户登录asp源码第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

算法

费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：f[i][v][u]=max{ f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}。如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用顺序的循环，当物品有如完全背包问题时采用逆序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。

物品总个数的限制

有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

另外，如果要求“恰取M件物品”，则在f[0..V][M]范围内寻找答案。

小结

事实上，当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

P: 分组的背包问题

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有f[k][v]=max{ f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}。

使用一维数组的伪代码如下：

for 所有的组k

for 所有的i属于组k

for v=V..0

f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

另外，显然可以对每组中的物品应用P中“一个简单有效的优化”。

小结

分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如P），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

P: 有依赖的背包问题

简化的问题

这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说，i依赖于j，表示若选物品i，则必须选物品j。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。

算法

这个问题由NOIP金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法，将不依赖于别的物品的物品称为“主件”，依赖于某主件的物品称为“附件”。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。

按照背包问题的一般思路，仅考虑一个主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一个也不选，仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选择两个附件……无法用状态转移方程来表示如此多的策略。（事实上，设有n个附件，则策略有2^n+1个，为指数级。）

考虑到所有这些策略都是互斥的（也就是说，你只能选择一种策略），所以一个主件和它的附件集合实际上对应于P中的一个物品组，每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品，其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法，因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。

再考虑P中的一句话：可以对每组中的物品应用P中“一个简单有效的优化”。这提示我们，对于一个物品组中的物品，所有费用相同的物品只留一个价值最大的，不影响结果。所以，我们可以对主件i的“附件集合”先进行一次背包，得到费用依次为0..V-c[i]所有这些值时相应的最大价值f'[0..V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于V-c[i]+1个物品的物品组，其中费用为c[i]+k的物品的价值为f'[k]+w[i]。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的，通过一次背包后，将主件i转化为V-c[i]+1个物品的物品组，就可以直接应用P的算法解决问题了。

更一般的问题

更一般的问题是：依赖关系以图论中“森林”的形式给出（森林即多叉树的集合），也就是说，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每个物品最多只依赖于一个物品（只有一个主件）且不出现循环依赖。

解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的是，由于附件可能还有附件，就不能将每个附件都看作一个一般的背包中的物品了。若这个附件也有附件集合，则它必定要被先转化为物品组，然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。

事实上，这是一种树形DP，其特点是每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次DP以求得自己的相关属性。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完P后，你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。

小结

NOIP的那道背包问题我做得很失败，写了上百行的代码，却一分未得。后来我通过思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解，还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系：物品不能既作主件又作附件，每个主件最多有两个附件，可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组，这便揭示了问题的某种本质。

我想说：失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。

P: 泛化物品

定义

考虑这样一种物品，它并没有固定的csort源码怎么写费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。

更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中，泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h，当分配给它的费用为v时，能得到的价值就是h(v)。

这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V]，给它费用v，可得到价值h[V]。

一个费用为c价值为w的物品，如果它是背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当v被c整除时有h(v)=v/c*w，其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品，那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/c*w仅当v被c整除且v/c<=n，其它情况函数值均为0。

一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0..V中的v，若物品组中不存在费用为v的的物品，则h(v)=0，否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。

泛化物品的和

如果面对两个泛化物品h和l，要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用v，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于0..V的每一个整数v，可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即f(v)=max{ h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到，f也是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0..V的函数，也就是说，f是一个由泛化物品h和l决定的泛化物品。

由此可以定义泛化物品的和：h、l都是泛化物品，若泛化物品f满足f(v)=max{ h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}，则称f是h与l的和，即f=h+l。这个运算的时间复杂度是O(V^2)。

泛化物品的定义表明：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s，则答案就是s[0..V]中的最大值。

背包问题的泛化物品

一个背包问题中，可能会给出很多条件，包括每种物品的费用、价值等属性，物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说，给定了所有条件以后，就可以对每个非负整数v求得：若背包容量为v，将物品装入背包可得到的最大价值是多少，这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言，求得这个泛化物品的一个子域（例如0..V）的值之后，就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。

综上所述，一般而言，求解背包问题，即求解这个问题所对应的一个函数，即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。

小结

本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说，是我在学习函数式编程的 Scheme 语言时，用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象，也许在“模型的抽象程度”这一方面已经超出了NOIP的要求，所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的OI之路逐渐延伸，有一天你会理解的。

我想说：“思考”是一个OIer最重要的品质。简单的问题，深入思考以后，也能发现更多。

P: 背包问题问法的变化

以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。

例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。

还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。

下面说一些变化更大的问法。

输出方案

一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。

还是以背包为例，方程为f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）：

i=N

v=V

while(i>0)

if(g[i][v]==0)

print "未选第i项物品"

else if(g[i][v]==1)

print "选了第i项物品"

v=v-c[i]

另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[i][v]的值实时地求出来，也即不须纪录g数组，将上述代码中的g[i][v]==0改成f[i][v]==f[i-1][v]，g[i][v]==1改成f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]也可。

输出字典序最小的最优方案

这里“字典序最小”的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出背包最小字典序的方案为例。

一般而言，免费html源码网站求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品1的最优方案，那么答案一定包含物品1，原问题转化为一个背包容量为v-c[1]，物品为2..N的子问题。反之，如果答案不包含物品1，则转化成背包容量仍为V，物品为2..N的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。

在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从N到1输入时，如果f[i][v]==f[i-v]及f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立，应该按照后者（即选择了物品i）来输出方案。

求方案总数

对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是背包中的物品，转移方程即为f[i][v]=sum{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，初始条件f[0][0]=1。

事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。

最优方案的总数

这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。还是以背包为例。

结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：f[i][v]意义同前述，g[i][v]表示这个子问题的最优方案的总数，则在求f[i][v]的同时求g[i][v]的伪代码如下：

for i=1..N

for v=0..V

f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

g[i][v]=0

if(f[i][v]==f[i-1][v])

inc(g[i][v],g[i-1][v]

if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])

inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])

如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。

小结

显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于NOIP，应该也不难想出算法。

触类旁通、举一反三，应该也是一个OIer应有的品质吧。

电脑程序编程怎么学怎样在电脑里学编程

1. 学计算机程序怎么学

学习计算机编程最有效的学习方法是边练边学，如果能在项目中进行学习是最好的方法。选择专业的职业教育院校，理论加实践的学习方法，学习起来不会很费力。

2. 怎么学习编写程序

1 一、明确学习目的

学习编程对大多数IT业人员来说都是非常有用的。学编程，做一名编程人员，从个人角度讲，可以解决在软件使用中所遇到的问题，改进现有软件，可以为自己找到一份理想的工作添加重要得砝码，有利于在求职道路上谋得一个好的职位；从国家的角度，可以为中国的软件产业做出应有的贡献，一名优秀的程序员永远是被争夺的对象。学习编程还能锻炼思维，使我们的逻辑思维更加严密；能够不断享受到创新的乐趣，将一直有机会走在高科技的前沿，因为程序设计本身是一种创造性的工作。知识经济时代给我们带来了无限的机会，要想真正掌握计算机技术，并在IT行业里干出一番事业来，有所作为，具有一定的编程能力是一个基本条件和要求。

2 二、打好基础

学编程要具备一定的基础，总结之有以下几方面：

1、数学基础从计算机发展和应用的历史来看计算机的数学模型和体系结构等都是有数学家提出的，最早的计算机也是为数值计算而设计的。因此，要学好计算机就要有一定的数学基础，出学者有高中水平就差不多了。

2、逻辑思维能力的培养学程序设计要有一定的逻辑思维能力，“逻思力”的培养要长时间的实践锻炼。要想成为一名优秀的程序员，最重要的是掌握编程思想。要做到这一点必须在反复的实践、观察、分析、比较、总结中逐渐地积累。因此在学习编程过程中，我们不必等到什么都完全明白了才去动手实践，只要明白了大概，就要敢于自己动手去体验。谁都有第一次。有些问题只有通过实践后才能明白，也只有实践才能把老师和书上的知识变成自己的，高手都是这样成材的。

3 三、注意理解一些重要概念

一本程序设计的书看到的无非就是变量、函数、条件语句、循环语句等概念，但要真正能进行编程应用，需要深入理解这些概念，在理解的基础上应用，不要只简单地学习语法、结构，而要吃透针这些语法、结构的应用例子，做到举一反三，触类旁通。

4 四、掌握编程思想

学习一门语言或开发工具，语法结构、功能调用是次要的，最主要是学习它的思想。关键是学一种思想，有了思想，那么我们就可以触类旁通。

5 五、多实践、多交流

掌握编程思想必须在编程实际工作中去实践和体会。编程起步阶段要经常自己动手设计程序，具体设计时不要拘泥于固定的思维方式，遇到问题要多想几种解决的方案。这就要多交流，各人的思维方式不同、角度各异，各有高招，通过交流可不断吸收别人的长处，丰富编程实践，帮助自己提高水平。亲自动手进行程序设计是创造性思维应用的体现，也是培养逻辑思维的好方法。

6 六、养成良好的编程习惯

编程入门不难，但入门后不断学习是十分重要的，相对来说较为漫长。在此期间要注意养成一些良好的编程习惯。编程风格的好坏很大程度影响程序质量。良好的编程风格可以使程序结构清晰合理，且使程序代码便于维护。如代码的缩进编排、变量命令规则的一致性、代码的注释等。

7 七、上网学编程

在网上可以学到很多不同的编程思想、方法、经验和技巧，有大量的工具和作品及相关的辅导材料供下载。

8 八、加强计算机理论知识的再学习

学编程是符合“理论→实践→再理论→再实践”的一个认识过程。一开始要具有一定的计算机理论基础知识，包括编程所需的数学基础知识，具备了入门的条件，就可以开始编程的实践，从实践中可以发现问题需要加强计算机理论知识的再学习。程序人人皆可编，但当你发现编到一定程度很难再提高的时候，就要回头来学习一些计算机科学和数学基础理论。学过之后，很多以前遇到的问题都会迎刃而解，使人有豁然开朗之感。因此在学习编程的过程中要不断地针对应用中的困惑和问题深入学习数据结构、算法、计算机原理、编译原理、操作系统原理、软件工程等计算机科学的理论基础和数理逻辑、代数系统、图论、离散数学等数学理论基础知识。这样经过不断的学习，再努力地实践，编程水平一定会不断提高到一个新高度。

3. 如何学习电脑编程入门。

计算机编程的学习过程虽然具有一定的难度，但是只要有一个系统的学习规划，大部分人都能学得会。对于初学者来说，可以按照以下步骤完成编程入门：

1、选择一门编程语言。虽然目前编程语言有种左右，但是比较流行的编程语言只有几十种，所以尽量选择流行程度比较高的编程语言来入门编程。对于没有明确编程场景的初学者来说，尽量选择全场景编程语言，比如Java、Python、C#等就是不错的选择，不仅应用范围广泛，而且也有大量的开发案例可以参考学习。

最后，在学习编程语言的过程中，也需要同时学习计算机网络、数据库等相关知识，在当前的云计算和大数据时代背景下，还需要掌握如何通过云计算（PaaS）来辅助开发，以及如何利用大数据平台的各种资源。

4. 想学电脑自动编程，怎么学，哪里学

大家好，我是木子，今天给大家带来，数控自动编程，话不多说，上干货

在数控加工程序的编制中，有手工编程与自动编程两种方式。由于手工编程的整个过程都是由人工完成的，对于那些形状复杂、具有非圆曲线、列表曲线轮廓的零件，或数值计算繁琐、程序量很大的零件，手工编程是难以胜任的，这时必须采用自动编程。

想学自动编程却没门路，自己也不理解自动编程，详细讲解来教你

一、自动编程的基本形式

根据编程信息的输入与计算机对信息的处理方式不同，自动编程分为以自动编程语言（APT语言）为基础的自动编程和以计算机绘图为基础的自动编程。

1、APT语言式自动编程

APT编程是一种利用高级符号语言编制数控加工程序的方法。APT语言是一种能对工件、刀具的几何形状及刀具相对于工件的运动进行定义的接近于英语的符号语言.

用APT语言编程时，编程人员根据零件图样及加工工艺用APT语言编写程序，并把这种加工程序输入计算机，经计算机的语言编译系统编译运算产生刀位文件，再经过后置处理，生成数控系统能接受的零件数控加工程序。

2、CAM自动编程

采用CAM自动编程时，编程人员首先要对零件图样进行工艺分析，利用自动编程软件本身的绘图功能或CAD软件将工件图形数字化，制作出NC加工程序。

想学自动编程却没门路，自己也不理解自动编程，详细讲解来教你

二、自动编程的主要工作内容

1、零件图样分析，确定零件的加工工艺

分析零件的几何要素与技术要求，明确加工内容，确定加工方法，选择机床、夹具、刀具和切削工艺参数，制订加工工艺路线，确定基准点、参考点和走刀路线（进给路线）。

2、零件图形的数字化

将零件图转化为实体模型，供计算机识别。注意实体模型的文件格式能够被自动编程软件所接受。

3、给定初始条件，生成与编辑刀具轨迹

输入初始条件，生成加工轨迹，根据实际加工状态对生成的轨迹进行裁剪、拼接等编辑处理，形成刀具轨迹。

4、生成加工程序

输入机床、刀具、切削用量等工艺参数和各种编程指令代码，计算机会根据已有的刀具轨迹自动生成所需要的NC程序。

想学自动编程却没门路，自己也不理解自动编程，详细讲解来教你

三、自动编程的基本工作过程

（1）在CAD/CAM集成环境中建立被加工对象的曲面模型或特征组合。

（2）确定加工时的定位基准面，基于特征的自动编程方法，设定毛坯的大小与尺寸。

（3）设置刀具

5. 电脑程序员怎么学

程序员的岗位需求很多，例如大型网络公司、软件开发公司等等都需要程序员。

程序员需要学习：

1、掌握数据及其转换、数据的机内表示、算术和逻辑运算，以及相关的应用数学基础知识；

2、理解计算机的组成以及各主要部件的性能指标；

3、掌握操作系统、程序设计语言的基础知识；

4、熟练掌握计算机常用办公软件的基本操作方法；

5、熟练掌握基本数据结构和常用算法；

6、熟练掌握C程序设计语言，以及C++、Java、Visual Basic中的一种程序设计语言；

7、熟悉数据库、网络和多媒体的基础知识；

8、掌握软件工程的基础知识，了解软件过程基本知识、软件开发项目管理的常识；

9、了解常用信息技术标准、安全性，以及有关法律、法规的基本知识；

、了解信息化、计算机应用的基础知识；

、正确阅读和理解计算机领域的简单英文资料。

程序员必备技能：

1、熟练开发工具

做为一名程序员至少熟练掌握两到三种开发工具的使用，这是程序员的立身之本，其中C/C++和JAVA是重点推荐的开发工具，C/C++以其高效率和高度的灵活性成为开发工具中的利器，很多系统级的软件还是用C/C++编写。

而JAVA的跨平台和与WEB很好的结合是JAVA的优势所在，而JAVA即其相关的技术集JAVAOne很可能会成为未来的主流开发工具之一。

其次，能掌握一种简便的可视化开发工具，如VB，PowerBuilder，Delphi，CBuilder，则更好，这些开发工具减小了开发难度，并能够强化程序员对象模型的概念。

另外，需要掌握基本的脚本语言，如shell，perl等，至少能读懂这些脚本代码。

2、熟知数据库

作为程序员，他们自然有自己的理由：很多应用程序都是以数据库的数据为中心，而数据库的产品也有不少，其中关系型数据库仍是主流形式，所以程序员至少熟练掌握一两种数据库，对关系型数据库的关键元素要非常清楚，要熟练掌握SQL的基本语法。

虽然很多数据库产品提供了可视化的数据库管理工具，但SQL是基础，是通用的数据库操作方法。如果没有机会接触商业数据库系统，可以使用免费的数据库产品是一个不错的选择，如mySQL，Postgres等。

3、了解操作系统

当前主流的操作系统是Windows，Linux/Unix，熟练地使用这些操作系统是必须的，但只有这些还远远不够。

要想成为一个真正的编程高手，需要深入了解操作系统，了解它的内存管理机制、进程/线程调度、信号、内核对象、系统调用、协议栈实现等。

Linux作为开发源码的操作系统，是一个很好的学习平台，Linux几乎具备了所有现代操作系统的特征。虽然Windows系统的内核实现机制的资料较少，但通过互联网还是能获取不少资料。懂得网络协议TCP/IP。

在互联网如此普及的今天，如果您还没有对互联网的支撑协议TCP/IP协议栈有很好的掌握，就需要迅速补上这一课，网络技术已改变了软件运行的模式。

从最早的客户/服务器结构，到今天的WEBServices，再到未来的网格计算，这一切都离不开以TCP/IP协议栈为基础的网络协议支持，深入掌握TCP/IP协议是非常必要的。

至少，需要了解ISO七层协议模型，IP/UDP/TCP/HTTP等常用协议的原理和三次握手机制。

4、明白DCOM/CORBA/XML/WEBServices存在的意义

随着技术的发展，软件与网络的无缝结合是必然趋势，软件系统的位置无关性是未来计算模式的重要特征之一，DCOM/CORBA是当前两大主流的分布计算的中间平台，DCOM是微软COM（组件对象模型）的扩展，而CORBA是OMG支持的规范。

XML/WebServices重要性不言而喻，XML以其结构化的表示方法和超强的表达能力被喻为互联网上的“世界语”，是分布式计算的基石之一。

5、不要将软件工程与CMM分开

大型软件系统的开发中，工程化的开发控制取代个人英雄主义，成为软件系统成功的保证，一个编程高手并不一定是一个优秀的程序员。

一个优秀的程序员是将出色的编程能力和开发技巧同严格的软件工程思想有机结合，编程只是软件生命周期中的其中一环，优秀的程序员应该掌握软件开发各个阶段的基本技能。

如市场分析，可行性分析，需求分析，结构设计，详细设计，软件测试等。

6、需求理解能力

程序员要能正确理解任务单中描述的需求。在这里要明确一点，程序员不仅仅要注意到软件的功能需求，还应注意软件的性能需求。

要能正确评估自己的模块对整个项目中的影响及潜在的威胁，如果有着两到三年项目经验的熟练程序员对这一点没有体会的话，只能说明他或许是认真工作过，但是没有用心工作。

7、模块化思维能力

作为一个优秀的程序员，他的思想不能局限在当前的工作任务里面，要想想看自己写的模块是否可以脱离当前系统存在，通过简单的封装在其他系统中或其他模块中直接使用。

这样做可以使代码能重复利用，减少重复的劳动，也能使系统结构越趋合理。模块化思维能力的提高是一个程序员的技术水平提高的一项重要指标。

6. 怎样在电脑里学编程

1、如果你能够熟练的使用Windows的话，你就已经可以开始你的程序生涯了，打怪升级走起来！（PHP网站开发在线培训课程）

2、首先从C语言开始。有的朋友可能认为C语言太难了，应该从VB开始。虽然，对于一个初学者来说，用一些控件堆砌成一个小软件会有一些成就感，但是，基础才是最重要的！C语言对于数据类型的描叙，远比VB更全面、明白，而这些正是编程中的根本！

3、学C语言，从数据类型，基本表达式，再到条件语句，循环语句，然后学习函数，再加上一些简单的数组知识，足矣。到现在为止，你只要理解结构化程序设计的思想也就够了！

4、有了以上的基础，就要开始学汇编了。汇编刚开始学的时候很难，那些各种各样的寄存器，分段的内存地址，很难理解，可是这些知识理解了以后，后面的内容就简单了，学习的那些指令，再加上一些伪操作，还有DOS和BIOS中断的调用，就可以看懂书上的汇编程序了。到此，你会对计算机有更深一层的理解！

5、有了汇编的基础，再来学习C语言中的精华部分——指针，可谓是如鱼得水了。现在你要对C语言全全面面的学一遍了。

6、学完以上的内容，有必要研究一下数据结构了，线性表，堆栈，队列，树，图，二叉树，等等。

7、请时刻牢记：浮躁是学习编程的大忌。

8、当然，你还应该学习一些数据库的知识，以及一些常用的算法。

9、如果以上的知识你都达到精通的程度后，就可以开始C++的课程了，找本C++上，然后找一本VC上手的书，再花一个星期的时间学习VC的界面和用法，就可以做一些简单的应用了！

、要想学好VC，没有扎实的C++知识是不行的，以下书籍是VC程序员必须翻的烂熟的：C++Primer；Effective C++；Thinking in C++；More Effective C++；深入浅出MFC。推荐阅读：年5本经典的编程入门书籍推荐

、深刻理解C++面向对象的思想。

、编程的时候，出错是难免的，所以，MSDN一定要熟练使用；好的代码风格会使调试的时候，更加简单的查错，所以，一定要养成良好的编程风格。

7. 想学计算机编程但是不知道学什么

1.首先刚入门的话，你要先明确目标选择一门编程语言入门。个人建议选择java或者C。在学习编程语言的时候，计算机有关的知识你也是需要涉及的，也要多多去了解一下，看一些书籍，在网上下载视频边看边学效果会好一些。在你理论知识的基础上学习起来会相对容易一些。当你熟悉掌握一门语言后，这个时候就可以有学习的目标了。自己对哪方面感兴趣喜欢哪种语言就学哪门。

2.我这边来简单介绍一下java的学习内容吧。

①JAVA编程基础（基础语法、面向对象、和谐特性等）

②WEB应用开发（静态网页制作、Oracle数据库、Java Web开发技术、Linux技术、网站性能与安全、软件工程开发流程、Java Web和谐等）

③企业级框架开发（数据结构与算法、SSH框架、JavaEE和谐等）

④项目实训

3.如果你真的想学好编程语言，C语言也是蛮重要的。但是新手学C语言通常会出现一个问题，就是除了写个排序算法，似乎根本想不出来C语言有什么用。这是因为我们的教科书讲C语言的时候，只讲这些基本算法，甚至连读写文件都不去讲，更不用说图形界面处理了和网络操作了，没有这些知识，想写一个真正的应用那是不可能的。不过，书上没有不等于学不了，文件操作和网络操作的讲解网络上有着大把的讲解，只要你找几篇文章看看，具备了这些基础知识，写一个自己的WEB服务器并不难。在逐步增加功能完善功能的同时，你的C语言基本上就可以达到相当牛人的水平了。

4.互联网行业目前还是最热门的行业之一，学习IT技能之后足够优秀是有机会进入腾讯、阿里、网易等互联网大厂高薪就业的，发展前景非常好，普通人也可以学习。

想要系统学习，你可以考察对比一下开设有相关专业的热门学校，好的学校拥有根据当下企业需求自主研发课程的能力，建议实地考察对比一下。

祝你学有所成，望采纳。

8. 计算机编程怎么入门

1、首先要选择一门语言开始学习编程。

学习编程当然要从学习编程语言开始，至于具体选择哪种语言开始，根据个人的喜欢来决定即可。

2、开始学习编程后如何入门。

网上有很多编程社区，编程论坛，以及免费的学习教程、视频资源等。刚开始学习，除了看书，要亲自上手实践，遇到问题去这些地方查找。

(8)电脑程序编程怎么学

注意适用范围：

高级语言是目前绝大多数编程者的选择，与汇编语言相比，它不但将许多相关的机器指令合成为单条指令，并且去掉了与具体操作有关但与完成工作无关的细节，例如使用堆栈、寄存器等，这样就大大简化了程序中的指令。同时，由于省略了很多细节，编程者也就不需要有太多的专业知识。

高级语言主要是相对于汇编语言而言，它并不是特指某一种具体的语言，而是包括了很多编程语言，如目前流行的vb、vc、foxpro、delphi等，这些语言的语法、命令格式都各不相同。

高级语言所编制的程序不能直接被计算机识别，必须经过转换才能被执行，按转换方式可将它们分为两类解释类执行方式类似于我们日常生活中的同声翻译”，应用程序源代码一边由相应语言的解释器翻译”成目标代码(机器语言)，一边执行，因此效率比较低，而且不能生成可独立执行的可执行文件，应用程序不能脱离其解释器，但这种方式比较灵活，可以动态地调整、修改应用程序。

9. 如何学习编程

学编程的注意点：

1、要确定好自己一定能学下去，不能是三分钟的热度，只是学个热闹，这样永远没有办法学的会。

2、一定要打好基础，刚开始学习编程的时候可能会很慢，感觉自己没学会啥，这可能是因为正处于打基础的阶段，只有把基础打好，未来才可以学得更好。

3、要注意实践操作，理论知识学得再多，如果不能实际的运用，还是等于0的。

编程是编定程序的中文简称，就是让计算机代码解决某个问题，对某个计算体系规定一定的运算方式，使计算体系按照该计算方式运行，并最终得到相应结果的过程。

为了使计算机能够理解人的意图，人类就必须将需解决的问题的思路、方法和手段通过计算机能够理解的形式告诉计算机，使得计算机能够根据人的指令一步一步去工作，完成某种特定的任务。这种人和计算体系之间交流的过程就是编程。

. 计算机编程如何学习（软件、网络）

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SpaceSyntax空间句法之DepthMapX学习：唠叨（目录）

在学习了空间句法理论及其相关软件 DepthMapX 后，我总结了以下内容，希望能对您有所帮助。如果您对这个理论或软件感兴趣，强烈推荐先去CSDN阅读由大神编写的一份《空间句法简明教程》，这是一本非常易于理解的科普书籍，篇幅虽短小但内容精炼。

学习过程的开始，我采取地毯式搜索策略，从多个平台寻找资源。起初，我发现了一些关于“史诗级XXXX”教程，但内容较为孤立，难以理解。后来在企鹅视频找到了几期相关视频教程，虽然质量一般，但这些资源仍为我提供了宝贵线索。在地毯式搜索中，我最终在CSDN下载站找到了《空间句法简明教程》。

除了书籍，我还利用Google、GitHub、博客园、YouTube、B站、百度等平台搜索资源，最终找到了DepthMapX的官方网站和GitHub代码页。这一过程虽然漫长且辛苦，但收集到了丰富的信息。

接下来，我为大家提供官方资源链接，包括官方网站和GitHub地址，以便大家进一步学习和探索。

DepthMapX是一款基于数学、计算机图形学和数据结构的软件，支持空间句法理论。它能够评价空间与空间之间的关系，用于空间布局分析和规划评价。DepthMapX（即DepthMap的升级版）是一款用QT平台编写的应用，用户可以自行编译源码或使用官方编译版本。

DepthMapX通过图论中的“图”和拓扑关系来分析空间元素之间的数学与地理学定量关系，从而得出确切的数值结果。决策者可以根据这些结果判断空间布局的合理性，指导规划调整。

软件可用于研究从大湾区这样的大尺度空间到商场楼层布局的细节问题。然而，分析过程可能会对计算机性能造成压力，尤其是处理大规模数据时。

与GIS中的空间统计分析类似，空间句法同样研究空间对象之间的数量关系，但基于拓扑连接要求。相比之下，空间统计分析只需地理对象的坐标和属性值，无需特定的拓扑关系。

在了解了DepthMapX的功能后，推荐采用“黑箱”学习模式。这意味着理解软件的输入、输出以及中间操作步骤，而无需深究其内部工作原理。这种学习方法有助于快速上手，适合探索新工具的初学者。

在学习DepthMapX时，了解软件的输入要求是关键。下篇文章将详细介绍如何正确提供输入数据。

本系列博客将涵盖如下目录：

g2o：非线性优化与图论的结合

g2o，全名General Graph Optimization，是用于解决非线性优化问题的一种工具。它的核心在于提供了一种通用的框架，通过自定义图中的顶点和边，几乎可以处理任何能够用图表示的优化问题。常见应用如bundle adjustment、ICP、数据拟合等。

从技术实现层面看，g2o是一个基于C++的开源项目，采用cmake构建。它广泛使用模板类来实现高度可扩展性和灵活性，特别是通过Eigen库来处理矩阵运算。

在g2o的类结构中，`SparseOptimizer`是核心类，它封装了一个优化问题的图，并通过添加顶点和边进行构建。优化过程包括选择求解器和迭代算法。求解器通常从PCG、CSparse、Cholmod中选择，而迭代算法则包括Gauss-Newton、Levernberg-Marquardt以及Powell's dogleg。

优化流程主要分为四个步骤，包括定义问题、选择求解器、配置参数、执行优化。流程图展示了这些步骤的实现逻辑。

在g2o中，优化求解器是关键，主要负责求解线性方程。线性求解器可以采用Cholesky分解、PCG迭代或Dense方法，也可以利用Eigen库的稀疏Cholesky分解。BlockSolver定义了一系列针对不同位姿和观测点维度的优化器结构，如g2o::BlockSolver_6_3、g2o::BlockSolver_7_3、g2o::BlockSolver_3_2。

在实现层面，`OptimizationAlgorithm`类提供了Gauss-Newton、Levenberg-Marquardt和Dogleg算法，其中Dogleg法特别适用于优化问题的求解。`SparseOptimizer`类提供了接口，允许用户添加顶点和边，最终调用优化方法。

顶点部分提供了基础类`Vertex`，允许用户定义不同的顶点类型，例如3D旋转使用四元数表示。g2o预定义了一些常用的顶点类型供用户直接使用。

边的定义分为一元边、二元边和多元边，分别用于连接一个顶点、两个顶点或多个顶点。边类提供了接口来定义测量值和连接的顶点类型，预定义了一些边缘类型以简化应用。

源码解读部分，建议深入g2o的官方文档和源代码，进行详细的代码分析和实验，以深入了解其内部实现和优化策略。

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